Algèbre 1

Notions élémentaires sur la structure de groupe ; groupes quotients ; exemples usuels (groupes cycliques, groupes symétriques, groupes de matrices) Notions élémentaires sur la structure d’anneaux ; idéaux et anneaux quotients ; exemples usuels (arithmétique dans les anneaux principaux, anneaux de polynômes).

Compléments sur les outils généraux de théorie des groupes et de théorie des anneaux (structures produits, structures quotients, théorèmes d’isomorphisme, théorèmes de classification ou de séparation, actions de groupes). Application à des résultats classiques sur la structure des groupes finis (cas abélien, théorèmes de Sylow, groupes de permutations) et sur les groupes résolubles. Application à l’arithmétique dans les anneaux factoriels ; cas des anneaux de polynômes.

Partie I : Groupes.

Rappels et compléments sur les groupes (parties génératrices) ;
Groupes finis abéliens. Dual d’un groupe, classification des groupes finis abéliens : tout groupe fini abélien est isomorphe à un produit de groupes cycliques ;
Groupes opérant sur un ensemble. Application aux p-groupes, théorèmes de Sylow. Produit semi-direct. Applications à des résultats de classification des groupes fini de petit cardinal.
Groupes symétriques et alternés. Rappels. Famille de générateurs. Simplicité des groupes alternés ;
Groupes résolubles.

Partie II : Arithmétique dans les anneaux.

Rappels et compléments sur les anneaux (théorème de Krull, théorème chinois dans les anneaux) ;
Divisibilité, éléments irréductibles, notion de PGCD et PPCM dans les anneaux intègres. Anneaux factoriels, principaux, euclidiens. Théorème de Gauss : A factoriel implique A[X] factoriel ;
Irréductibilité des polynômes : critères classiques (Eisenstein, réduction) ;
Polynômes symétriques : théorème fondamental et applications.

Compléments sur les outils généraux de théorie des groupes et de théorie des anneaux (structures produits, structures quotients, théorèmes d’isomorphisme, théorèmes de classification ou de séparation, actions de groupes). Application à des résultats classiques sur la structure des groupes finis (cas abélien, théorèmes de Sylow, groupes de permutations) et sur les groupes résolubles. Application à l’arithmétique dans les anneaux factoriels ; cas des anneaux de polynômes.