Algèbre 2

Algèbre générale niveau M1 : groupes (groupes finis, groupes opérant sur un ensemble, groupes simples) et anneaux (idéaux, anneaux quotients, anneaux euclidiens) Algèbre linéaire niveau Licence de mathématiques (espaces vectoriels, bases, applications linéaires, matrices, sommes directes, réduction des endomorphismes)

Structures algébriques Modules sur un anneau, algèbres sur un anneau ou un corps Représentations linéaires complexes des groupes finis

Modules sur un anneau commutatif : généralités, sommes directes, quotients, modules libres et exemples de modules non-libres. Rang d’un module libre sur un anneau commutatif.
Algèbres sur un anneau commutatif, sur un corps : généralités et exemples, algèbre d’un monoïde.
Algèbre des matrices a? coefficients dans un anneau commutatif (centre, idéaux).
Déterminant, application aux extensions d’anneaux et aux entiers algébriques. Opérations élémentaires et facteurs invariants d’une matrice (cas d’un anneau euclidien, unicité admise), application aux générateurs des groupes linéaires.
Algèbre sesquilinéaire (cadre d'un corps K muni d'un automorphisme s tel que s^2=id).
Extensions des résultats de base (existence de bases orthogonales) sur les formes bilinéaires symétriques. Cas complexe : espaces de Hilbert complexes de dimension finie, groupe unitaire, théorème spectral complexe.
Représentations linéaires complexes d’un groupe fini. Irréductibilité, théorème de Maschke, caractères, table des caractères. Exemples de représentations de groupes de petit cardinal. Théorème « pq » de Burnside (si le temps le permet).

Structures algébriques Modules sur un anneau, algèbres sur un anneau ou un corps Représentations linéaires complexes des groupes finis