Analyse Fonctionnelle

Espaces métriques, espaces vectoriels normés, topologie relative à une métrique, espaces topologiques, notion d’espace de Hilbert (produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, identité du parallélogramme, orthogonalité), suites et séries de fonctions (convergence simple, convergence uniforme et convergence normale), intégrale de Lebesgue (théorème de la convergence dominé de Lebesgue), espaces L^p, notion d’opérateur linéaire, continuité d’opérateurs linéaires.

L’objet de cette UE est d’initier les étudiants aux concepts de base d’analyse fonctionnelle tels le théorème de projection sur un convexe fermé d’un espace de Hilbert, notion de base hilbertienne la forme analytique du théorème de Hahn-Banach et ses différents corollaires, la forme géométrique du théorème de Hahn-Banach (séparation large et stricte des convexes), le théorème de Baire et ses conséquences : le théorème de Banach-Steinhaus, le théorème de l’application ouverte, le théorème de l’isomorphisme de Banach et le théorème du graphe fermé. Un autre volet de connaissances que les étudiant doivent acquérir porte sur les topologies faibles sur un espace normé (ou de Banach) : notion de topologie initiale (définie par une famille de fonctions), la topologie faible ?(X,X^*) sur X et ses différentes propriétés : la séparabilité, les ouverts, fermés et bases de voisinages pour a topologie ?(X,X^*), notion de convergence faible des suites, cas des espaces de dimension finie, théorème de Mazur, identité des bornés pour la topologie forte et la topologie faible. Ensuite introduction de la topologie faible étoile ?(X^*,X) et ses conséquences : la séparabilité, bases de voisinages pour a topologie ?(X^*,X), notion de convergence faible étoile des suites, théorème d’Alaoglu, identité des bornés pour la topologie forte de X^* et la topologie faible étoile sur X*. Introduction de la notion d’espaces normés réflexifs, le théorème de Kakutani (caractérisant les espaces réflexifs), le théorème de Goldstine, caractérisation de la réflexivité d’un espace normé en terme de son espace dual. Introduction de la notion d’espaces normés séparables, caractérisation la séparabilité d’un espace normé réflexif en terme de son espace dual. Enfin retour sur les espaces L^p : rappels de quelques propriétés de base, étude de la réflexivité et la séparabilité des espaces L^p. Enfin, introduction aux espaces de Schwartz et aux espaces de Sobolev.

Espaces de Hilbert (projection sur un convexe fermé, bases hilbertiennes, adjoint…);
Dualité (théorèmes de Hahn-Banach, topologie faible) ;
Théorème de Baire et applications (Banach-Steinhaus, graphe fermé, application ouverte) ;
Exemples d'espaces fonctionnels (retour sur les espaces L^p, espace de Schwartz, espaces de Sobolev...).

L’objet de cette UE est d’initier les étudiants aux concepts de base d’analyse fonctionnelle tels le théorème de projection sur un convexe fermé d’un espace de Hilbert, notion de base hilbertienne la forme analytique du théorème de Hahn-Banach et ses différents corollaires, la forme géométrique du théorème de Hahn-Banach (séparation large et stricte des convexes), le théorème de Baire et ses conséquences : le théorème de Banach-Steinhaus, le théorème de l’application ouverte, le théorème de l’isomorphisme de Banach et le théorème du graphe fermé. Un autre volet de connaissances que les étudiant doivent acquérir porte sur les topologies faibles sur un espace normé (ou de Banach) : notion de topologie initiale (définie par une famille de fonctions), la topologie faible ?(X,X^*) sur X et ses différentes propriétés : la séparabilité, les ouverts, fermés et bases de voisinages pour a topologie ?(X,X^*), notion de convergence faible des suites, cas des espaces de dimension finie, théorème de Mazur, identité des bornés pour la topologie forte et la topologie faible. Ensuite introduction de la topologie faible étoile ?(X^*,X) et ses conséquences : la séparabilité, bases de voisinages pour a topologie ?(X^*,X), notion de convergence faible étoile des suites, théorème d’Alaoglu, identité des bornés pour la topologie forte de X^* et la topologie faible étoile sur X*. Introduction de la notion d’espaces normés réflexifs, le théorème de Kakutani (caractérisant les espaces réflexifs), le théorème de Goldstine, caractérisation de la réflexivité d’un espace normé en terme de son espace dual. Introduction de la notion d’espaces normés séparables, caractérisation la séparabilité d’un espace normé réflexif en terme de son espace dual. Enfin retour sur les espaces L^p : rappels de quelques propriétés de base, étude de la réflexivité et la séparabilité des espaces L^p. Enfin, introduction aux espaces de Schwartz et aux espaces de Sobolev.