Analyse mathématique des équations aux dérivées partielles

Etre à l’aise avec les notions de dérivées partielles Avoir de bonnes bases de la théorie de l’intégration (par exemple l’inégalité de Hölder, la formule de Stokes, le théorème de représentation de Riesz, la transformation de Fourier, etc.) Avoir des notions d’analyse hilbertienne et d’espaces fonctionnels : espaces de Hilbert, espaces L^p, théorèmes de Hahn-Banach, topologie faible.

Les trois types d’équations aux dérivées partielles linéaires : elliptique, parabolique et hyperbolique. Le théorème de Lax-Milgram appliqué aux équations elliptiques La méthode des caractéristiques pour l’existence de solution aux problèmes hyperboliques La méthode de Galerkin pour l’existence de solution aux problèmes paraboliques Des notions sur la résolution d’équations aux dérivées partielles non linéaires Les notions de consistance, stabilité, convergence et ordre d’un schéma numérique.

Notions élémentaires sur les équations aux dérivées partielles classiques ;
Équation de transport : méthode des caractéristiques ;
Équations des ondes et de la chaleur : résolution par transformée de Fourier et séparation des variables ;
Équations elliptiques ;
Exemples de discrétisation de problèmes aux limites en dimension un par la méthode des différences finies : notions de consistance, stabilité, convergence, ordre.

Les trois types d’équations aux dérivées partielles linéaires : elliptique, parabolique et hyperbolique. Le théorème de Lax-Milgram appliqué aux équations elliptiques La méthode des caractéristiques pour l’existence de solution aux problèmes hyperboliques La méthode de Galerkin pour l’existence de solution aux problèmes paraboliques Des notions sur la résolution d’équations aux dérivées partielles non linéaires Les notions de consistance, stabilité, convergence et ordre d’un schéma numérique.