Calcul différentiel

Algèbre linéaire, topologie des R-espaces vectoriels

Introduction à la géométrie différentielle.

Partie I : Fonctions différentiables

Applications différentiables sur un ouvert d’un espace vectoriel normé.Différentielle ;
Différentielle de la fonction Déterminant. Dérivée selon un vecteur. ;
Opérations algébriques sur les applications différentiables.
Composition d’applications différentiables. Théorème des accroissements finis ;
Applications de classe C^k. Matrice jacobienne.
Formule de Taylor avec reste intégral, formule de Taylor-Young. Étudelocale des applications à valeurs dans R.
Développements limités. Recherche des extrema locaux ;
Difféomorphismes. Théorème d’inversion locale. Théorème des fonctionsimplicites.

Partie II : Sous variétés de R^n

Définitions équivalentes : graphe local, paramétrisation locale,équation locale ;
Espace tangent. Exemple : O(n) comme sous-variété de GL(n;R).
Étude métrique des courbes : abscisses curvilignes, longueur d'un arc C^1
Surfaces dans R^3 : position par rapport au plan tangent ;
Extrema locaux d’une fonction définie sur une sous-variété, multiplicateurs de Lagrange.

Introduction à la géométrie différentielle.