Contenu
Partie I - Calcul intégral.
? Rappels sur les primitives d'une fonction continue sur un intervalle I (On admettra qu'une fonction continue possède des primitives), primitives usuelles ;
? Intégrale sur [a,b] d'une fonction continue (on définira l'intégrale de f sur [a,b] comme F(b)-F(a), où F est une primitive de f). Interprétation géométrique ;
? Propriétés élémentaires (linéarité, positivité de l'intégrale, relation de Chasles), formule de la moyenne. Intégration par parties. Changement de variable ;
? Formule de Taylor avec reste intégral.
Partie II - Équations différentielles.
? Rappels sur les équations différentielles linéaires du premier ordre, principe de superposition, méthode de la variation de la constante ;
? Équations non linéaires du premier ordre à variables séparables. Principe de recollement en un point ;
? Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et à second membre de type exponentielle-polynôme.
Partie III - Intégrales impropres.
? Convergence et divergence d'une intégrale impropre. Cas d'un intervalle borné, d'un intervalle non borné. Propriétés élémentaires ;
? Exemples fondamentaux d'intégrales impropres (Riemann) ;
? Résultats de convergence pour une fonction positive par comparaison (majorant, équivalent, négligeable). Convergence absolue ;
? Changement de variable, intégration par parties ;
? Intégrales doublement généralisées.
Informations complémentaires
Cet enseignement complète la formation de la première année en mathématiques générales. L'objectif est de maîtriser les techniques d’intégration et la résolution de certaines équations différentielles. On mettra l'accent sur la maîtrise des calculs.
