Ce cours est consacré à l'étude des fonctions de plusieurs variables réelles et à valeurs dans Rn. On étudie les notions de continuité, différentiabilité, intégrabilité et convexité. On présente ensuite les outils et les techniques de base pour l'étude des problèmes d'optimisation.
Contenu
1) Éléments de topologie dans Rn Intervalles de R. Voisinage, ouvert, fermé de R. Normes sur Rn. Voisinage, ouvert, fermé, borné de Rn. Adhérence, intérieur. Suites dans Rn. Convergence. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
2) Continuité Fonctions continues en un point. Fonctions continues dans un ensemble. Théorème de Weierstrass.
3) Différentiabilité Dérivabilité des fonctions d'une variable réelle et à valeurs dans Rn. Dérivées partielles. Gradient d'une fonction à valeurs dans R. Matrice jacobienne. Différentielle d'ordre 1. Opérations sur les fonctions différentiables. Différentielle d'ordre 2. Théorème de Schwarz. Formules de Taylor-Lagrange, Taylor-Young. Inégalité des accroissements finis.
4) Intégrales multiples Parties quarrables de R2, exemples remarquables. Définition et propriétés élémentaires de l'intégrale double d'une fonction continue bornée sur un domaine quarrable. Théorème de Fubini. Changement de variables dans une intégrale double. Cas particulier du passage en coordonnées polaires. Parties cubables de R3, exemples remarquables. Définition et propriétés élémentaires de l'intégrale triple d'une fonction continue bornée sur un domaine cubable. Théorème de Fubini. Changement de variables dans une intégrale triple. Cas particulier du passage en coordonnées sphériques et cylindriques.
6) Optimisation sans contrainte Optimisation dans un ouvert de Rn . Conditions d'optimalité. Optimisation dans un fermé. Théorème de Weierstrass.
7) Optimisation sous contrainte Optimisation sous contrainte d'égalités dans Rn. Conditions du premier ordre de Lagrange. Conditions du second ordre. Optimisation sous contrainte d'égalités et d'inégalités dans Rn. Conditions d'optimalité de Kuhn et Tucker.
Ce cours est consacré à l'étude des fonctions de plusieurs variables réelles et à valeurs dans Rn. On étudie les notions de continuité, différentiabilité, intégrabilité et convexité. On présente ensuite les outils et les techniques de base pour l'étude des problèmes d'optimisation.
